ЕКСТРЕМАЛЬНА ЗАДАЧА У ЗГОРТКАХ З ДВОМА ЯДРАМИ

Анотація

Розглянуто ситуацію, коли інтегральне рівняння з двома ядрами у згортках не має розв’язків. Тоді
нетривіальною стає задача побудована у згортках з двома ядрами сформована на базі інтегрального рівняння та
обмежена мінімальною функціональною залежністю. Де ядерні функції належать певному класу, є задана функція
і шукана функція, які належать до підкласу, вагова функція обмежена зверху і знизу додатними сталими.
У даній роботі запропоновано наступну методику розв’язання цієї екстремальної задачі. Використовуючи
умови розв’язності інтегрального рівняння та позначивши вираз під модулем через сталу, прийдемо до задачі
мінімізації квадратичного функціоналу з шуканою функцією і лінійними функціоналами у додаткових умовах.
В роботі доведено, що отримана екстремальна задача має єдиний розв’язок та знайдено цей розв’язок.
Таким чином, у роботі показано перехід до розв’язного рівняння з двома ядрами.
В образах Фур’є дане рівняння зведено до задачі Рімана на осі абсцис теорії аналітичних функцій і розв’язано
в квадратурах. Розв’язок єдиний.
В роботі наведено алгоритм розв’язання поставленої екстремальної задачі та приклад. У сучасній теорії
функцій з комплексною змінною однією з найважливіших областей досліджень є теорія крайових (граничних) задач
у класах аналітичних функцій та їх різних узагальнень.
Оператори типу згортки часто зустрічаються при вивченні лінійних систем. Якщо на вхід такої системи
подаються певні сигнали, то сигнал на виході представляється у вигляді згортки двох функцій. При цьому одна з
функція називається імпульсною функцією відгуку, а її образ Фур’є – передаточною функцією системи. Значить,
поставлену задачу можна трактувати так: імпульсну функцію відгуку потрібно підібрати так, щоб сигнал на
виході системи якомога менше відрізнявся б від попередньо заданої функції.
Результати, отримані в ході виконання представленої роботи, можуть бути використані для розробки
наближених чисельно-аналітичних розв’язків задачі.