Порівняльний аналіз чисельних методів розрахунку гнучких фундаментних плит на пружній основі з урахуванням геометричної нелінійності

Анотація

У статті наведено результати порівняльного аналізу ефективності та точності чисельних методів при розв’язанні задач будівельної механіки, зокрема при розрахунку гнучких фундаментних плит, що взаємодіють із пружною основою. Актуальність дослідження зумовлена сучасними тенденціями у будівництві великопрольотних та висотних споруд, де використання тонких фундаментних плит призводить до виникнення значних прогинів, сумірних із товщиною самої конструкції. У таких випадках класична лінійна теорія розрахунку дає суттєву похибку, що вимагає застосування геометрично нелінійного апарату, заснованого на системі диференціальних рівнянь Теодора фон Кармана. В якості математичної моделі взаємодії плити з ґрунтом використано класичну однопараметричну модель Вінклера. Основна увага у роботі приділяється порівнянню двох сіткових методів: узагальненого методу скінченних різниць (МСР) та методу послідовних апроксимацій (МПА), специфіка якого полягає у застосуванні кусково-поліноміальних функцій (сплайнів) для побудови матриць диференціювання. Для реалізації алгоритмів авторами використано обчислювальні програми для середовища MATLAB, що дозволяють здійснювати ітераційний процес пошуку нелінійного розв'язку. У ході дослідження виконано розрахунок квадратної фундаментної плити, жорстко защемленої по контуру, під дією рівномірно розподіленого навантаження. Проведено серію обчислень на сітках різної густоти (від кроку h=1/4 до h=1/64). На першому етапі отримані результати зіставлені з класичними аналітичними розв'язками нелінійної теорії пластин без урахування основи. Доведено, що метод послідовних апроксимацій (МПА) демонструє вищу швидкість збіжності та кращу точність на рідких розрахункових сітках порівняно з класичним МСР. Зокрема, розбіжність максимальних прогинів за МПА становить менше 3% вже при кроці сітки h=1/16, тоді як для досягнення аналогічної точності в МСР потрібне подальше згущення сітки. На другому етапі чисельно досліджено поведінку цієї ж плити за умови її спирання на суцільну пружну основу. Встановлено, що врахування відсічі ґрунту за моделлю Вінклера призводить до зменшення максимальних прогинів конструкції в середньому на 15 % порівняно з плитою без основи. При цьому алгоритм МПА зберігає свою обчислювальну стійкість, забезпечуючи стабілізацію значень переміщень та згинальних моментів вже на сітці h=1/16 без накопичення похибок, характерних для МСР у зонах крайових ефектів. Результати дослідження підтверджують доцільність використання алгоритмів МПА у програмних комплексах автоматизованого проєктування будівельних конструкцій для підвищення надійності оцінки напружено-деформованого стану фундаментів за наявності геометричної нелінійності.