Метод скінченних міських модулів як інструмент моделювання та розрахунку містобудівних систем

Анотація

У статті запропоновано метод скінченних міських модулів (МСкММ) – принципово новий гібридний підхід до математичного моделювання та розрахунку містобудівних систем, заснований на строгій адаптації апарату методу скінченних елементів (МСЕ) до задач просторового планування. Актуальність розробки зумовлена відсутністю уніфікованого математичного інструментарію, здатного одночасно описувати площинні міські зони, лінійні інфраструктурні мережі та точкові центри тяжіння в єдиній системі рівнянь із чітким трактуванням нормативних обмежень. Показано, що містобудівна система може бути подана через гібридний дискретний простір, де площинні міські модулі (квартали, райони, функціональні зони) описуються як 2D-елементи, транспортні та інженерні мережі – як 1D-елементи, а точкові об'єкти й агенти (центри тяжіння, зупинки, джерела попиту) – як 0D-елементи. Для кожного типу елемента виведено локальні оператори: матрицю жорсткості, матрицю накопичення та вектор навантаження із конкретною урбаністичною інтерпретацією коефіцієнтів (просторова провідність, пропускна здатність, щільність, попит). Запроваджено поняття матриці функціональної сумісності модулів, яка алгебраїзує містобудівний регламент та забезпечує математично коректне зв'язування суміжних міських зон – повна сумісність задає сильний інтерфейсний зв'язок, несумісність – бар'єрний елемент або нульовий зв'язок. Детально розглянуто блокову структуру глобальної системи рівнянь, типи граничних умов (Діріхле, Неймана, Робіна та сідлові умови для задач з нормативними обмеженнями), а також методи розв'язання лінійних і нелінійних систем – ітераційні Крилов-методи, багаторівневі AMG-методи, прямі розріджені розв'язувачі. Описано підходи до динамічного моделювання (IMEX-схеми для жорстких задач) та стохастичного аналізу (неінтрузивні та інтрузивні методи polynomial chaos). Проведено порівняльний аналіз МСкММ із клітинними автоматами, агентно-орієнтованими та транспортними моделями, що підтвердив системні переваги запропонованого підходу: строга варіаційна постановка, адаптивна дискретизація, масштабовані розв'язувачі та природний зв'язок з чинними нормами. Продемонстровано відповідність МСкММ вимогам ДБН Б.2.2-12:2019 та практичну придатність методу для сценарного аналізу, оптимізаційних задач і автоматизованого картографування містобудівних індикаторів.